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数学 中学3年「因数分解」の解説

因数分解とは、1つの多項式を、2つ以上の式の積（かけ算）の形に直すことです。かけ算で広げる「展開」の、ちょうど逆の操作だと考えてください。このページでは、やり方の暗記ではなく「なぜその方法で見つかるのか」という理由から解説します。

1．すべての基本：因数分解は「展開の逆」

展開では (x＋2)(x＋3) を x2＋5x＋6 に広げました。因数分解はその逆向きで、x2＋5x＋6 を見て「もとの (x＋2)(x＋3) は何だったか」を当てる作業です。だから因数分解が苦手なときは、先に展開の仕組みを思い出すと理解しやすくなります。

(x＋a)(x＋b) ＝ x2＋(a＋b)x＋ab

展開すると、x の係数は a と b の和、定数項（x のつかない項）は a と b の積になります。この対応が、後で学ぶ「足して・掛けて探す」方法の正体です。

2．まず確認：共通因数でくくる

因数分解で最初に見るのは、すべての項に共通する因数（共通因数）がないかです。共通因数があれば、それをかっこの外に出します。これを「くくる」と言います。分配法則 a(b＋c)＝ab＋ac の逆です。

例：3x2＋6x

2つの項 3x2 と 6x は、どちらも 3x で割り切れます。3x が共通因数です。

3x2＋6x ＝ 3x(x＋2)

検算として 3x(x＋2) を展開すると 3x2＋6x に戻ります。くくった後は、かっこの中にもう共通因数が残っていないか確認しましょう。

学習のポイント：因数分解の問題では、いきなり公式を当てはめようとせず、まず「共通因数でくくれないか」を必ず最初に確認します。これだけで解ける問題も多く、後の計算も軽くなります。

3．乗法公式を使った因数分解

展開の乗法公式を逆向きに使うと、次の3つの形がそのまま因数分解の公式になります。

例：x2－9

9 は 32 です。「2乗 － 2乗」の形なので、和と差の積の公式が使えます。

x2－9 ＝ x2－32 ＝ (x＋3)(x－3)

4．x2＋(a＋b)x＋ab の因数分解：「足して・掛けて」の仕組み

教科書では「足して x の係数、掛けて定数項になる2つの数を探す」と習います。なぜこの探し方でよいのか、展開から理由を確認しましょう。

(x＋a)(x＋b) を展開すると、

(x＋a)(x＋b) ＝ x2＋ax＋bx＋ab ＝ x2＋(a＋b)x＋ab

ここで、x の項は ax と bx をまとめたもの、つまり係数は a＋b（2数の和）です。定数項は ab（2数の積）です。ということは、x2＋5x＋6 を因数分解するには、

という手順で、かっこの中身 a と b が決まります。「掛けて」から先に探すのは、積の組は限られているので候補を絞りやすいからです。符号にも注意してください。定数項がマイナスのとき、2数は異符号（プラスとマイナス）になり、和は「差」の形になります。

例題でステップ解説

例題1：x2＋5x＋6 を因数分解しなさい。

  1. 共通因数はありません。
  2. 掛けて ＋6 になる組：(1, 6)、(2, 3)。どちらもプラスの組です（和もプラスになる必要があるため）。
  3. 足して ＋5 になるのは 2 と 3 です。

x2＋5x＋6 ＝ (x＋2)(x＋3)

検算：(x＋2)(x＋3) を展開すると x2＋(2＋3)x＋2×3 ＝ x2＋5x＋6。元に戻りました。

例題2：x2－x－12 を因数分解しなさい。

  1. 共通因数はありません。
  2. 定数項が －12 でマイナスなので、2数は異符号です。掛けて －12 になる組：(1, －12)、(2, －6)、(3, －4) と符号を入れ替えたもの。
  3. x の係数は －1 です。和が －1 になる組は、3 と －4（3＋(－4)＝－1）。

x2－x－12 ＝ (x＋3)(x－4)

検算：(x＋3)(x－4) ＝ x2＋(3－4)x＋3×(－4) ＝ x2－x－12。符号の組み合わせが合っています。

例題3：3x2＋9x＋6 を因数分解しなさい。

  1. まず共通因数を確認します。全ての項が 3 で割り切れるので、3 でくくります：3(x2＋3x＋2)。
  2. かっこの中を因数分解します。掛けて ＋2、足して ＋3 になる組は 1 と 2 です。
  3. かっこの外の 3 を落とさないように答えに残します。

3x2＋9x＋6 ＝ 3(x＋1)(x＋2)

「最初にくくる→残りを公式で」という2段階の流れは、複雑な問題でも共通の解き方です。

まとめ：因数分解の手順

  1. 共通因数でくくれるか確認する。
  2. 乗法公式の形（2乗の形、和と差の積）かどうか見る。
  3. x2＋□x＋△ の形なら、「掛けて△、足して□」になる2数を探す。
  4. 最後に展開して、もとの式に戻るか検算する。

手順が身についたら、練習問題（因数分解クイズ）で自動生成される問題に挑戦してみましょう。